Question

（2013•崇明縣一模）如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁，右焦點為F₂，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，△ABF₂的周長為8，且△AF₁F₂面積最大時，△AF₁F₂為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q．試探究：①以PQ為直徑的圓與x軸的位置關系？
②在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義、等邊三角形的性質即可得出；
（2）①判斷圓心到x軸的距離與半徑的大小關系即可得出；
②假設平面內存在定點M滿足條件，則由對稱性知點M在x軸上，再利用直徑所對的圓周角是直角即可求出．

解答：解：（1）∵△ABF₂的周長為8，∴4a=8，∴a=2．
又當△AF₁F₂面積最大時為正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b²=3，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）①由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得方程（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
由直線與橢圓相切得m≠0，△=0，⇒4k²-m²+3=0．
求得P(-

4k

m

，

3

m

)，Q（4，4k+m），PQ中點到x軸距離 d2=(2k+

m

2

+

3

2m

)2(

1

2

|PQ|)2-d2=(

2k

m

-1)2＞0(4k2-m2+3=0⇒m≠2k)．
所以圓與x軸相交．
②假設平面內存在定點M滿足條件，由對稱性知點M在x軸上，設點M坐標為M（x₁，0），

MP

=(-

4k

m

-x1，

3

m

)，

MQ

=(4-x1，4k+m)．
由

MP

•

MQ

=0，得(4x1-4)

k

m

+x12-4x1+3=0．
∴4x1-4=

x

2 1

-4x1+3=0，即x₁=1．
所以定點為M（1，0）．

點評：熟練掌握橢圓的定義、等邊三角形的性質、直線與圓的位置關系的判斷、圓的對稱性、直徑所對的圓周角是直角是解題的關鍵．