Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4， 而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
從而a=4，b=2，c=2，d=2；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）
設F（x）=kg（x）﹣f（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，
則F′（x）=2kex（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（kex﹣1），
由題設得F（0）≥0，即k≥1，
令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，
①若1≤k＜e2 ， 則﹣2＜x1≤0，從而當x∈（﹣2，x1）時，F′（x）＜0，當x∈（x1 ， +∞）時，F′（x）＞0，
即F（x）在（﹣2，x1）上減，在（x1 ， +∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為F（x1），
而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2時F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
②若k=e2 ， 則F′（x）=2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），從而當x∈（﹣2，+∞）時，F′（x）＞0，
即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故當x≥﹣2時，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
③若k＞e2時，F′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），
而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以當x＞﹣2時，f（x）≤kg（x）不恒成立，
綜上，k的取值范圍是[1，e2]
【解析】（Ⅰ）對f（x），g（x）進行求導，已知在交點處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的導函數，通過對k的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（x）≤kg（x）恒成立，從而求出k的范圍．