Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點(diǎn)E是正方形BCC₁B₁的中心，點(diǎn)F、G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)E₁，G₁分別是點(diǎn)E，G在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影，
（1）求以E為頂點(diǎn)，以四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；
（2）證明：直線FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）依題作點(diǎn)E、G在平面內(nèi)的正投影，
則分別為的中點(diǎn)，
連接，
則所求為四棱錐的體積，
其底面面積為，
又，
∴。

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別作x軸，y軸，z軸，
得，
又，
則，
∴，
即，

∴。
（3），
則，
設(shè)異面直線E₁G₁與EA所成角為θ，
則。