Question

點P在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上運動，Q、R分別在兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上運動，則|PQ|+|PR|的最大值為（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，c²=4-3=1，故橢圓

x2

4

+

y2

3

=1兩焦點F₁（-1，0），F₂（1，0）恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心，過P點作x軸平行線，分別交兩準線于A，B兩點，連接PF₁，PF₂，并延長，分別交兩圓于Q′，R′，則|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|=|PF₁|+1+|PF₂|+1=e|AB|+2，由此能求出|PQ|+|PR|的最大值．

解答：解：∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，c²=4-3=1，
∴橢圓

x2

4

+

y2

3

=1兩焦點F₁（-1，0），F₂（1，0）恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心，
e=

c

a

=

1

2

，準線x=±

a2

c

=±4，
過P點作x軸平行線，分別交兩準線于A，B兩點，
連接PF₁，PF₂，并延長，分別交兩圓于Q′，R′，
則|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|
=|PF₁|+1+|PF₂|+1
=e|PA|+e|PB|+2
=e|AB|+2
=

1

2

×8+2
=6．
故選D．

點評：本題考查橢圓和圓的簡單性質，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．