Question

（1）如圖1，已知定點F₁（-2，0）、F₂（2，0），動點N滿足|

ON

|=1（O為坐標原點），

F1M

=2

NM

，

MP

=λ

MF2

（λ∈R），

F1M

•

PN

=0，求點P的軌跡方程．

（2）如圖2，已知橢圓C：

x2

4

+y²=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓上，且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N，
（ⅰ）設直線AP、BP的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁•k₂為定值；
（ⅱ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的定義可知：點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點的雙曲線，從而可得點P的軌跡方程；
（2）（ⅰ）由橢圓方程求出兩個頂點A，B的坐標，設出P點坐標，寫出直線AP、BP的斜率k₁，k₂，結合P的坐標適合橢圓方程可證結論；
（ⅱ）設出以MN為直徑的圓上的動點Q的坐標，由

QM

•

QN

=0列式得到圓的方程，化為圓系方程后聯立方程組可求解圓所過定點的坐標．

解答：解：（1）連接ON，
∵

F1M

=2

NM

，∴點N是MF₁中點，∴|MF₂|=2|NO|=2
∵

F1M

•

PN

=0，∴F₁M⊥PN，∴|PM|=|PF₁|
∴||PF₁|-|PF₂||=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|
由雙曲線的定義可知：點P的軌跡是以F₁，F₂為焦點的雙曲線．
∴點P的軌跡方程是x2-

y2

3

=1； 
（2）（ⅰ）令P（x₀，y₀），則由題設可知x₀≠0，
∵A（0，1），B（0，-1），
∴直線AP的斜率k₁=

y0-1

x0

，PB的斜率k2=

y0+1

x0

，
又點P在橢圓上，∴

x02

4

+y02=1，
從而有k1k2=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=-

1

4

；
（ⅱ）設Q（x，y）是以MN為直徑的圓上的任意一點，則

QM

•

QN

=0，
∴有（x+

1

k1

）•（x+

1

k2

）+（y+2）（y+2）=0
又k₁•k₂=-

1

4

，
∴MN為直徑圓的方程為x2+(y+2)2-12+(

3

k1

-4k1)x=0．
令

x=0 x2+(y+2)2-12=0

，解得

x=0 y=-2±2 3

，
∴以MN為直徑的圓恒過定點（0，-2+

3

）或（0，-2-2

3

）．

點評：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查代入法，考查了圓系方程，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．