Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，分別是的中點．

（1）證明：平面平面；

（2）求三棱錐的高．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)1.

【解析】分析：（1）要證明平面平面，利用平面與平面垂直的判定定理，在其中一個平面內找一條直線與另一個平面垂直。由，是的中點，可得。因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，進而可得。由已知條件直三棱柱中，，，分別是的中點．可得：，進而得∽，所以，所以。因為，由直線與平面垂直的判定定理可得平面，再由平面與平面垂直的判定定理可得平面平面。（2）求三棱錐的高，直接作高不容易判斷垂足的位置，故可以用等體積法求高。由（1）可知可用 來求。由（1）知直線平面ADE，故求，,，進而求得。由條件可求得， ，知三角形邊長要求面積，應先求一個角，故由余弦定理推論可得：，進而求，可求, 設三棱錐的高為，由，得：，解得.

詳解：（1）由已知得：

所以∽

所以，所以

又因為，是的中點，所以

所以平面，所以

而，所以平面

又平面，

所以平面平面；

（2）設三棱錐的高為，因為,

所以，

由已知可求得， ，

在中，由余弦定理的推論可得 ，

所以，所以,

由，得：，所以.