Question

（2012•黃浦區一模）要測定古物的年代，常用碳的放射性同位素¹⁴C的衰減來測定：在動植物的體內都含有微量的¹⁴C，動植物死亡后，停止了新陳代謝，¹⁴C不再產生，且原有的¹⁴C含量的衰變經過5570年（¹⁴C的半衰期），它的殘余量只有原始量的一半．若¹⁴C的原始含量為a，則經過x年后的殘余量a′與a之間滿足a′=a•e^-kx．
（1）求實數k的值；
（2）測得湖南長沙馬王堆漢墓女尸中¹⁴C的殘余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆古墓的年代（精確到100年）．

Answer 1

分析：（1）根據a′=a•e^-kx，原有的¹⁴C含量的衰變經過5570年（¹⁴C的半衰期），它的殘余量只有原始量的一半，建立等式，可求實數k的值；
（2）古墓中女尸¹⁴C的殘余量約占原始含量的76.7%，建立方程，可推算馬王堆古墓的年代．

解答：解：（1）由題意可知，當x=5570時，

a′

a

=

1

2

，
∵a′=a•e^-kx，∴

1

2

=e^-5570k，
∴k=

ln2

5570

．
（2）∵古墓中女尸¹⁴C的殘余量約占原始含量的76.7%，
∴

a′

a

=0.767，即0.767=e-

ln2

5570

x，
解得x≈2132．
∴由此可推測古墓約是2100多年前的遺址．

點評：本題考查函數模型的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題．