Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于，兩點，若橢圓的離心率為，的周長為16．

（1）求橢圓的方程；

（2）設不經過橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點，，設弦，的中點分別為，．證明：，，三點共線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知橢圓E的離心率為，的周長為16，解得a，b的值，可得橢圓E的方程；（Ⅱ）設，，．利用點差法，可得，，由此可得O，M，N三點共線．

（Ⅰ）解：由題意知，，．又，

，，

橢圓E的方程為；

（Ⅱ）證明：當直線AB、CD的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，

中點M，N在x軸上，O，M，N三點共線；

當直線AB，CD的斜率存在時，設其斜率為k，

且設，，．

則，，相減得，

，即，即，

；

同理可得，

，

所以O，M，N三點共線．