Question

【題目】設(shè),函數(shù).

（1）求函數(shù)的的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）設(shè),問是否存在極值, 若存在, 請求出極值; 若不存在, 請說明理由;

（3）設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點, 線段的中點為,直線的斜率為.證明:.

Answer 1

【答案】（1）當時, ；當時, （2）當時, 無極值; 當時, 有極大值無極小值.（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導函數(shù)，再在定義區(qū)間內(nèi)求導函數(shù)零點：當時, 恒成立, 當時, ，最后列表分析區(qū)間導數(shù)符號，確定單調(diào)增區(qū)間（2）先求導函數(shù)，再在定義區(qū)間內(nèi)求導函數(shù)零點：當時, 恒有,當時, 最后列表分析區(qū)間導數(shù)符號，確定極值，（3）先分析不等式：即，再構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)：因為，所以設(shè)，即只要為增函數(shù)

試題解析：在區(qū)間上，.

（1）. ① 當時, 恒成立,的單調(diào)遞增區(qū)間為②當時, 令,即,得的單調(diào)遞增區(qū)間為.

綜上所述: 當時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為;當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）,得,當時, 恒有,

在上為單調(diào)遞增函數(shù), 故 在上無極值; 當時, 令 ,得單調(diào)遞增, 單調(diào)遞減, ，無極小值. 綜上所述: 當時, 無極值; 當時, 有極大值無極小值.

（3）證明:, 又,要證：，即證，不妨設(shè)，即證，即證，設(shè)，即證，也就是要證，其中，事實上：設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，因此，即結(jié)論成立.