Question

已知數列，滿足
（I）求證：數列均為等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（I）詳見試題解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見試題解析；．

解析試題分析：（I）將已知式變形成從而得都是等比數列；（Ⅱ）由（I）都是等比數列，可得消去即得數列的通項公式；（Ⅲ）故因而只要證利用錯位相減法求和：．最后利用放縮法證明不等式．
試題解析：（I）證明：即是首項為公比為的等比數列．                                    2分
又是首項為公比為的等比數列．                                          4分
（Ⅱ）解：由（I）知故       8分
（Ⅲ）證明：故           9分
則
設．

                           12分
故．                                13分
考點：1．數列通項公式的求法；2．數列不等式的證明．