Question

【題目】已知橢圓C的方程為： =1（a＞0），其焦點在x軸上，離心率e= ．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點P（x0 ， y0）滿足 ，其中O為坐標原點，M，N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為﹣ ，求證：x02+2y02為定值．
（3）在（2）的條件下，問：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，b2=2，解得 ，故橢圓的標準方程為
（2）證明：設M（x1，y1），N（x2，y2），則由 ，得（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

即x0=x1+2x2，y0=y1+2y2，

∵點M，N在橢圓 上，

∴

設kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由題意知， ，

∴x1x2+2y1y2=0，

故

= ，

即 （定值）

（3）證明：由（2）知點P是橢圓 上的點，

∵ ，

∴該橢圓的左右焦點 滿足 為定值，

因此存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值

【解析】（1）根據橢圓焦點在x軸上，離心率 ，即可求出橢圓的標準方程；（2）假設M，N的坐標，利用向量條件尋找坐標之間的關系，結合點M，N在橢圓 上，即可證明 為定值；（3）由（2）知點P是橢圓 上的點，根據橢圓的定義可得該橢圓的左右焦點滿足|PA|+|PB|為定值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．