Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的一個長軸頂點為A（2，0），離心率為 ，直線y=k（x﹣1）與橢圓C交于不同的兩點M，N，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當△AMN的面積為 時，求k的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為 ，
∴
∴b=
∴橢圓C的方程為 ；
（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯(lián)立 ，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0
設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則x1+x2= ，
∴|MN|= =
∵A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離為
∴△AMN的面積S=
∵△AMN的面積為 ，
∴
∴k=±1
【解析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為 ，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯(lián)立 ，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離，利用△AMN的面積為 ，可求k的值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．