Question

【題目】已知點，，點為曲線上任意一點且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）設曲線與軸交于、兩點，點是曲線上異于、的任意一點，直線、分別交直線于點、.試問在軸上是否存在一個定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，其坐標為

【解析】

（1）設點P（x，y），由條件列出方程，化簡得出方程；

（2）根據題意求出M、N的坐標，表示出直線MR、NR的直線方程，表示出F、G兩點，假設存在定點S(0,m)，利用求出m即可.

解：（1）設，由，

得，

整理得.

所以曲線的方程為.

（2）由題意得，，.

設點，由點在曲線上，

所以.

直線的方程為，

所以直線與直線的交點為.

直線的方程為，

所以直線與直線的交點為.

假設存在點，使得成立，

則.

即，

整理得.

因為，

所以，

解得.

所以存在點使得成立，

點的坐標為.