Question

已知命題p：“對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立”，命題q：“方程（a-1）x²+（3-a）y²-（3-a）（a-1）=0表示焦點在x軸上的橢圓”．
（1）若命題p是真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若命題p，q中有且只有一個真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）命題p是真命題時，分a=0時和a≠0時兩種情況加以討論，結合一元二次不等式恒成立的條件解關于a的不等式，即可得到實數a的取值范圍；
（2）由焦點在x軸上橢圓的形式，建立關于a的不等式，解出當q為真命題時a的取值范圍．然后分p真q假和p假q真兩種情況，分別找出符合題意a的范圍，再綜合可得滿足條件a的取值范圍．

解答：解：（1）命題p是真命題，即對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立
∴①a=0時，原不等式變成1＞0，顯然恒成立；
②當a≠0時，

a＞0 △=a2-4a＜0

，解之得0≤a＜4
綜上所述，得實數a的取值范圍是[0，4]；
（2）若命題q為真，則

3-a＞0 a-1＞0 3-a＞a-1

，解之得1＜a＜2，
∵命題p，q中有且只有一個真命題，
∴當p為真命題、q為假命題時，a∈[0，1]∪[2，4）；
當q為真命題、p為假命題時，找不到a符合條件的a值
綜上所述，可得實數a的取值范圍為[0，1]∪[2，4）．

點評：本題給出關于一元二次不等式和橢圓的兩個命題，求命題p為真時實數a的取值范圍，并求p、q只有一個真命題時實數a的范圍．著重考查了一元二次不等式恒成立、橢圓的標準方程和命題真假的判斷等知識，屬于中檔題．