Question

已知命題p：曲線方程

x2

2-k

+

y2

5-k

=1表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線；
命題q：已知

a

=(x，-k，1)，

b

=(x，x，k+3)，對(duì)任意x∈R，

a

•

b

＞0恒成立．
（Ⅰ） 寫(xiě)出命題q的否定形式￢q；
（Ⅱ） 求證：命題p成立是命題q成立的充分不必要條件．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得到命題q的否定形式^?q；
（Ⅱ） 根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）￢q：已知

a

=(x，-k，1)，

b

=(x，x，k+3)，?x∈R，

a

•

b

≤0．
（Ⅱ）若曲線方程

x2

2-k

+

y2

5-k

=1表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，
則

5-k＞0 2-k＜0

，
即

k＜5 k＞2

，
∴2＜k＜5．即p：2＜k＜5．
若q成立，則

a

•

b

=x2-kx+k+3＞0恒成立，
即△=k²-4k-12＜0，
解得-2＜k＜6，
∵（2，5）⊆（-2，6），且（2，5）?（-2，6），
∴命題p成立是命題q成立的充分不必要條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查含有量詞的命題的否定以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．