Question

已知函數f(x)＝log|sinx|.

(1)求其定義域和值域；

(2)判斷其奇偶性；

(3)求其周期；

(4)寫出單調區間．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數定義域為{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，函數的值域為[0，＋∞)．

（2）f(x)為偶函數（3）T＝π(4) f(x)的單調增區間是 (k∈Z)，

單調減區間是 (k∈Z)

【解析】(1)由|sinx|>0得sinx≠0，∴x≠kπ(k∈Z)．

即函數定義域為{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

又0<|sinx|≤1，∴log|sinx|≥0.

∴函數的值域為[0，＋∞)．

(2)∵f(x)的定義域關于原點對稱，

且f(－x)＝log|sin(－x)|＝log|－sinx|

＝log|sinx|＝f(x)．

∴f(x)為偶函數．

(3)函數f(x)是周期函數，

∵f(x＋π)＝log|sin(x＋π)|＝log|－sinx|

＝log|sinx|＝f(x)，

∴f(x)的周期T＝π.

(4)∵y＝logu在(0，＋∞)上是減函數，

u＝|sinx|在 (k∈Z)上是增函數，

在 (k∈Z)上是減函數．

∴f(x)在 (k∈Z)上是增函數，

在 (k∈Z)上是減函數．

即f(x)的單調增區間是 (k∈Z)，

單調減區間是 (k∈Z)．