Question

已知圓O：x²+y²=1，直線l：y=

3

3

(x+4)．
（1）設(shè)圓O與x軸的兩交點(diǎn)是F₁，F(xiàn)₂，若從F₁發(fā)出的光線經(jīng)l上的點(diǎn)M反射后過點(diǎn)F₂，求以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)M的橢圓方程；
（2）點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，從點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)l反射后與圓O相切．若光線從射出經(jīng)反射到相切經(jīng)過的路程最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)稱求出2a，F(xiàn)₁F₂=2c，由題意可求橢圓方程；
（2）作出圖形，由題意可知圖中P的對(duì)稱點(diǎn)到圓O的切線長(zhǎng)最短，就是過原點(diǎn)O且與l垂直的直線與l′的交點(diǎn)．

解答：解（1）如圖，由光學(xué)幾何知識(shí)可知，點(diǎn)F₁關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)F₁′
在過點(diǎn)A（-4，0）且傾斜角為60°的直線l′上．
在△AF₂F₁′中，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=MF1+MF2=

F

/ 1

F2=

19

，
又橢圓的半焦距c=1，∴b2=a2-c2=

15

4

，
∴所求橢圓的方程為

x2

19 4

+

y2

15 4

=1；
（2）光線從射出經(jīng)反射到相切經(jīng)過的路程最短，即為l′上的點(diǎn)P′到圓O的切線長(zhǎng)最短，
由幾何知識(shí)可知，P′應(yīng)為過原點(diǎn)O且與l垂直的直線與l′的交點(diǎn)，
這一點(diǎn)又與點(diǎn)P關(guān)于l對(duì)稱，∴AP=AP′=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，直線和圓的位置關(guān)系，對(duì)稱知識(shí)，最值問題，知識(shí)點(diǎn)多；
考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，是難題，高考易考點(diǎn)．