Question

已知f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）．
（1）當(dāng)n=2，x∈（0，1]時(shí)，若不等式f（x）≤kx恒成立，求k的范圍；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在（

1

2

，1）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得k≥x-

1

x

+1，令g(x)=x-

1

x

+1，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值即得結(jié)論；
（2）由題意得f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）是增函數(shù)，且f（1）=n-1＞0，f(

1

2

)=(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+

1

2

-1=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1=-(

1

2

)n＜0，故得結(jié)論成立．

解答： 解：（1）由f（x）≤kx?x²+x-1≤kx，則k≥x-

1

x

+1，…（2分）
又g(x)=x-

1

x

+1在（0，1]上是增函數(shù)，g（x）_max=g（1）=1…（4分）
所以k≥1．…（6分）
（2）f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）是增函數(shù)，且f（1）=n-1＞0，…（8分）
f(

1

2

)=(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+

1

2

-1=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1=-(

1

2

)n＜0…（12分）
所以f（x）在(

1

2

，1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查恒成立問題及函數(shù)零點(diǎn)的判斷問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求最值等知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，屬難題．