Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a+1）（a為常數）是實數集R上的奇函數，函數g（x）=λf（x）+sinx，使g（x）在區間[-1，1]上是減函數的λ的取值的集合為P．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ） 對?x∈[-1，1]及λ∈P，g（x）≤λt-1恒成立，求實數t的最大值；
（Ⅲ）若關于x的方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m有且只有一個實數根，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函數，可得f（0）=0，從而可求a的值；
（Ⅱ）g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即g（x）max≤t2+λt+1，由此可求t的取值范圍；
（Ⅲ）構造f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，兩圖象應只有一個交點，利用導數研究他們的單調性和極值最值，得出極值最值關系，列方程求解．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（e^x+a+1）是實數集R上奇函數，∴f（0）=0，即ln（e⁰+a+1）=0，∴a+2=1，解得a=-1．
將a=-1帶入f（x）=lne^x=x，顯然為奇函數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=λf（x）+sinx=g（x）=λx+sinx，
∴g′（x）=λ+cosx，x∈[-1，1]，
∴要使g（x）是區間[-1，1]上的減函數，則有g′（x）≤0在x∈[-1，1]恒成立，∴λ≤（-cosx）_min，所以λ≤-1．…（5分）
要使g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需g（x）min=g（-1）=-λ-sin1≤λt-1在λ≤-1時恒成立即可．
∴（t+1）λ+sin1-1≥0（其中λ≤-1）恒成立即可．
令h（λ）=（t+1）λ+sin1-1≥0（其中λ≤-1），則

t+1≤0 h(-1)≥0

即

t+1≤0 -t-2+sin1≥0

，
∴t≤sin1-2，實數t的最大值為sin1-2．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m，即

lnx

x

=x2-2ex+m，
令f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，
∵f₁′（x）=

1-lnx

x2

當x∈（0，e]時，f₁′（x）≥0，f₁（x）在（0，e]上為增函數，
當x∈[e，+∞）時，f₁′（x）≤0，f₁（x）在[e，+∞）上為減函數；
∴當x=e時，f₁（x）_max=

1

e

，
而f₂（x）=x²-2ex+m，
=（x-e）²+m-e²，
當x∈（0，e]時，f₂（x）是減函數，當x∈[e，+∞）時，f₂（x）是增函數，
∴當x=e時，f₂（x）_min=m-e²，
只有當m-e²=

1

e

，即m=e²+

1

e

時，方程有且只有一個實數根．

點評：本題考查函數的奇偶性，考查恒成立問題，考查函數的零點，考查數形結合的數學思想，屬于難題．