Question

已知橢圓的左、右焦點分別為、， 焦距為2，過作垂直于橢圓長軸的弦長為3
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點的動直線交橢圓于A、B兩點，判斷是否存在直線使得為鈍角，若存在，求出直線的斜率的取值范圍

Answer 1

（1）橢圓方程為；（2）存在定點，使以AB為直徑的圓恒過點 

解析試題分析：(1) 過作垂直于橢圓長軸的弦長為，由此可得，解得，從而可得橢圓的方程 （2）首先考慮直線的斜率不存在的情況 當過直線的斜率存在時，設直線的方程為，設, 由 得： 當為鈍角時，，利用韋達定理將不等式化為含的不等式，解此不等式即可得的取值范圍
試題解析：(1)依題意                                 （2分）
解得，∴橢圓的方程為：                  （4分）
（2）（i）當過直線的斜率不存在時，點，
則,顯然不為鈍角                        （5分）
(ii)當過直線的斜率存在時，設斜率為，則直線的方程為，
設, 由 得：
 恒成立
                             （8分）

                  （11分）
當為鈍角時，<0，
綜上所述,滿足條件的直線斜率k滿足且                  （13分）
考點：直線與圓錐曲線