Question

設拋物線y²=2px（p＞0）上有兩動點A、B，F為焦點，且|

AF

|+|

BF

|=8，且線段AB的垂直平分線恒過定點Q（6，0）．
（1）求拋物線方程；
（2）求△AQB面積最大值．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（x₀，y₀），利用拋物線方程與直線的斜率公式，算出M的坐標關于AB斜率k和p的式子，根據AB的中垂線線恒過定點Q（6，0）利用斜率公式建立關于p的等式，解出p值即可得到拋物線方程；
（2）由拋物線方程和直線AB方程消去x，得y²-2y₀y+2y₀²-16=0，從而算出|y₁-y₂|=

64-4y02

，由△AQB在x軸上截得的線段|QD|=4+

1

4

y02，得到△AQB面積S關于y₀的表達式，再利用基本不等式求最值即可算出△AQB面積最大值．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀），
①當直線AB的斜率存在時，設斜率為k，則
由|AF|+|BF|=8得x₁+x₂+p=8，∴x₀=4-

p

2

又∵y₁²=2px₁且y₂²=2px₂，∴y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂）
可得k=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

=

p

y0

，解出y₀=

p

k

，得M（4-

p

2

，

p

k

），
∵線段AB的垂直平分線恒過定點Q（6，0），
∴

p k

4- p 2 -6

•k=-1，解之得p=4，可得拋物線方程為y²=8x，
②當直線的斜率不存在時，可得|

AF

|+|

BF

|=2p=8，
也滿足拋物線方程為y²=8x．
綜上所述，可得拋物線方程為y²=8x；
（2）當直線的斜率存在時，由x₀=4-

p

2

=2，得M（2，y₀）
∵AB斜率k=

p

y0

，∴直線AB方程為y-y₀=

p

y0

（x-2）
令y=0，解出直線與x軸的交點為D（2-

1

4

y02，0），
∵由y²=8x和y-y₀=

p

y0

（x-2）消去x，得：y²-2y₀y+2y₀²-16=0，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4y02-4(2y02-16)

=

64-4y02

，
∵|QD|=6-（2-

1

4

y02）=4+

1

4

y02，
∴△AQB面積為S=

1

2

|QD|•|y₁-y₂|=

1

2

（4+

1

4

y02）•

64-4y02

=

1

4 2

(16+y02)(16+y02)(32-2y02)

∵

(16+y02)(16+y02)(32-2y02)

≤

[ 1 3 (16+y02)+(16+y02)+(32-2y02)]3

=

512 3

9

，
∴S=

1

4 2

(16+y02)(16+y02)(32-2y02)

≤

1

4 2

•

512 3

9

=

64 6

9

．
當直線的斜率不存在時，直線AB的方程為x=2且|AB|=8，
可得△ABS面積S=

1

2

×8×4=16＜

64 6

9

．
∴△AQB面積最大值為

64 6

9

．

點評：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線方程并求三角形面積的最大值．著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系和三角形面積求法等知識，屬于中檔題．