Question

已知橢圓的離心率，且過點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）垂直于坐標軸的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓D經過坐標原點．證明：圓D的半徑為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓的離心率，可得a²=4b²，利用橢圓過點，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分類討論：①當直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，從而可求原點O到直線的距離；②當直線AB斜率為0時，由橢圓的對稱性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，可求原點O到直線的距離，由此可知圓D的半徑為定值．
解答：（1）解：∵橢圓的離心率
∴，∴a²=4b²
∴橢圓C的方程為
∵橢圓過點
∴
∴b²=1，a²=4
∴橢圓C的標準方程為
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①當直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB為直徑的圓D經過坐標原點，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴
∵，∴
∴原點O到直線的距離為
②當直線AB斜率為0時，由橢圓的對稱性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，
∵以AB為直徑的圓D經過坐標原點，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴
∵，∴
∴原點O到直線的距離為
綜上知，圓D的半徑為定值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的綜合，正確運用橢圓的性質是解題的關鍵．