Question

已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．
（I）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（II）設AC與BD交于點O，M為OC中點，若二面角O-PM-D的正切值為，求a：b的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據線面垂直的判定，證明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD⊥平面PAC．
（II）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A-PM-D的平面角，利用二面角O-PM-D的正切值為，即可求a：b的值．
解答：（I）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD
又ABCD為菱形，所以AC⊥BD，
因為PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC
因為BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．
（II）解：過O作OH⊥PM交PM于H，連HD

因為DO⊥平面PAC，由三垂線定理可得DH⊥PM，所以∠OHD為A-PM-D的平面角
又，且
從而
∴
所以9a²=16b²，即．
點評：本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．