Question

已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．

（I）求證：平面PBD⊥平面PAC；

（II）設AC與BD交于點O，M為OC中點，若二面角O﹣PM﹣D的正切值為，求a：b的值．

Answer 1

考點：

平面與平面垂直的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題．

專題：

綜合題；空間向量及應用．

分析：

（I）根據線面垂直的判定，證明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD⊥平面PAC．

（II）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值為，即可求a：b的值．

解答：

（I）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD

又ABCD為菱形，所以AC⊥BD，

因為PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC

因為BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．

（II）解：過O作OH⊥PM交PM于H，連HD

因為DO⊥平面PAC，由三垂線定理可得DH⊥PM，所以∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角

又，且

從而

∴

所以9a²=16b²，即．

點評：

本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．