Question

如圖所示，ABCD是邊長為a的正方形，△PBA是以角B為直角的等腰三角形，H為BD上一點，且AH⊥平面PDB．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面APB；
（Ⅱ）求直線PC與平面PDB所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵AH⊥平面PBD，PB?平面PBD，
∴AH⊥PB，
又PB⊥AB，AH∩AB=A，∴PB⊥平面ABCD，
而PB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面APB．
（Ⅱ）解：連接CH，∵ABCD是正方形且AH⊥BD，
∴C，H，A三點共線，且H為AC，BD的中點，
由AH⊥平面PBD知CH⊥平面PBD，
∴PH就是PC在平面PBD內的射影，∴∠CPH就是直線PC與平面PBD所成的角．
在Rt△CHP中，，
∴，
∴∠CPH=30°，
∴，即直線PC與平面PDB所成角的余弦值為．
分析：（I）利用線面垂直的性質定理可得AH⊥PB，又PB⊥AB，利用線面垂直的判定定理可得PB⊥平面ABCD，再利用面面垂直的性質定理即可證明結論；
（II）連接CH，利用ABCD是正方形且AH⊥BD，可得C，H，A三點共線，且H為AC，BD的中點，由AH⊥平面PBD知CH⊥平面PBD，因此∠CPH就是直線PC與平面PBD所成的角．再利用已知求出即可．
點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，線面所成角等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力．