Question

請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=x（cm）．
（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm²）最大，試問x應取何值？
（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm³）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．

Answer 1

分析：（1）可設包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），寫出a，h與x的關系式，并注明x的取值范圍．再利用側面積公式表示出包裝盒側面積S關于x的函數解析式，最后求出何時它取得最大值即可；
（2）利用體積公式表示出包裝盒容積V關于x的函數解析式，最后利用導數知識求出何時它取得的最大值即可．

解答：解：設包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），則a=

2

x，h=

2

（30-x），0＜x＜30．
（1）S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）²+1800，
∴當x=15時，S取最大值．
（2）V=a²h=2

2

（-x3+30x²），V′=6

2

x（20-x），
由V′=0得x=20，
當x∈（0，20）時，V′＞0；當x∈（20，30）時，V′＜0；
∴當x=20時，包裝盒容積V（cm³）最大，
此時，

h

a

=

1

2

．
即此時包裝盒的高與底面邊長的比值是

1

2

．

點評：考查函數模型的選擇與應用，考查函數、導數等基礎知識，考查運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力．屬于基礎題．