Question

【題目】已知拋物線（）的焦點F，E上一點到焦點的距離為4.

（1）求拋物線E的方程；

（2）過F作直線l交拋物線E于A，B兩點，若直線AB中點的縱坐標為，求直線l的方程及弦的長.

Answer 1

【答案】（1）（2）；

【解析】

（1）利用拋物線E：y2＝2px（p＞0）的準線方程，由拋物線的定義列出方程，求解即可．

（2）由（1）得拋物線E的焦點F（1，0）設A，B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），利用點差法，求出線段AB中點的縱坐標為﹣1，得到直線的斜率，求出直線方程．再聯立直線與拋物線方程，利用弦長公式求解即可．

（1）拋物線（）的準線方程為，

由拋物線的定義可知解得，∴E的方程為；

（2）由（1）得拋物線E的方程為，焦點

設A，B兩點的坐標分別為，，

則，

兩式相減.整理得（）

∵線段AB中點的縱坐標為，

∴直線l的斜率，

直線l的方程為即，

由得，

∵，，

.