Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，沿某動(dòng)直線l為折痕，正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上，記為B′；折痕l與AB交于點(diǎn)E，點(diǎn)M滿足關(guān)系式

EM

=

EB

+

EB′

．
（1）如圖，建立以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若曲線C是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱的曲線組成的，
F是AB邊上的一點(diǎn)，

BA

BF

=4，過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，且

PF

=λ

FQ

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用消參法求點(diǎn)M的軌跡方程，再所建的直角坐標(biāo)系中，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），B′點(diǎn)坐標(biāo)為（t，1），根據(jù)

EM

=

EB

+

EB′

，把M點(diǎn)坐標(biāo)用含參數(shù)t的式子表示，再消去參數(shù)t，就可得到點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）先根據(jù)點(diǎn)M的軌跡求其關(guān)于邊AB對(duì)稱的曲線方程，可得到曲線C的方程，，再由

BA

BF

=4，過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，且

PF

=λ

FQ

，把λ用直線PQ的斜率k表示，再根據(jù)k的范圍求λ的范圍即可．

解答：解：（1）以B為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸，BC所在直線為x軸，
建立直角坐標(biāo)系如圖所示：
設(shè)B′（t，1），E（0，m），B（0，-1），
其中0≤t≤2，-1≤m≤1．
∴

EM

=

EB

+

EB′

，且|

EB′

|=|

EB

|，∴BEB′M是菱形，設(shè)M（x，y），
則

EM

=（x，y-m），

BB′

=（t，2），且

EM

⊥

BB′

，即

EM

•

BB′

=0
由

EM

•

BB′

=0⇒tx+2（y-m）=0
由

EM

=

EB

+

EB′

⇒

x=t y=-m

   消去參數(shù)t，m，得y=-

1

4

x²（0≤x≤2）
（2）依題意知曲線C的方程為：x²=-4y  （-2≤x≤2），
如圖設(shè)直線PQ的方程為y=kx-

1

2

  （-

1

4

≤k≤

1

4

）．
代入曲線C的方程并整理，得x²+4kx-2=0．（-2≤x≤2），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

△＞0 x1+x2=-4k x1x2

（*）
又∵

PF

=λ

FQ

，，∴（-x₁，-

1

2

-y1）=λ（x₂，y2-

1

2

），
從而得x₁=-λx₂．
代入（*）得

(1-λ)x2=-4k① -λx22=-2    ②

1兩邊平方除以②式，得

(1-λ)2

-λ

=

(-4k)2

-2

，
即

(1-λ)2

λ

=8k2，∵0≤k²≤(

1

4

)2，∴

(1-λ)2

λ

≤

1

2

．
即2λ²-5λ+2≤0，∴

1

2

≤λ≤2．∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[

1

2

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了消參法求軌跡方程，以及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷．