Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為B'；折痕與AB交于點E，以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB．若以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系（如下圖）：
（Ⅰ）．求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）．若曲線S是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形A₁B₁C₁D₁的三邊A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁分別與曲線S切于點P，Q，R．求梯形A₁B₁C₁D₁面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設出M的坐標，根據兩點關于直線對稱時兩點連線與對稱軸垂直，且兩點的中點在對稱軸上，再根據平行四邊形的對角線對應的向量等于兩鄰邊對應向量的和得到點M的軌跡方程；
（2）利用函數在切點處的導數值為曲線的切線斜率，求出腰A₁B₁的方程，分別令y=0和y=1求出與兩底的交點橫坐標，利用梯形的面積公式表示出梯形A₁B₁C₁D₁面積，利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：（1）如圖，設M（x，y），B′（x₀，2），又E（0，b）
顯然直線l的斜率存在，故不妨設直線l的方程為y=kx+b，，則kBB/=

2

x0

=-

1

k

⇒k=-

x0

2

而BB′的中點(

x0

2

，1)在直線l上，
故(-

x0

2

)•

x0

2

+b=1⇒b=1+

x 2 0

4

，①
由于

EM

=

EB

+

EB′

⇒(x，y-b)=(0，-b)+(x0，2-b)⇒

x=x0 y=2-b

代入①即得y=-

x2

4

+1，又0≤x₀≤2點M的軌跡方程y=-

x2

4

+1（0≤x≤2）-------------（6分）
（2）易知曲線S的方程為y=-

x2

4

+1（-2≤x≤2）
設梯形A₁B₁C₁D₁的面積為s，點P的坐標為(t，-

1

4

t2+1)(0＜t≤2)．
由題意得，點Q的坐標為（0，1），直線B₁C₁的方程為y=1．
對于y=-

x2

4

+1有y′=-

x

2

∴y′|x=t=-

t

2

∴直線A₁B₁的方程為y-(-

1

4

t2+1)=-

t

2

(x-t)，
即：y=-

t

2

x+

1

4

t2+1令y=0得，x=

t2+4

2t

，
∴A1(

t2+4

2t

，0)．
令y=1得，x=

1

2

t，
∴B1(

1

2

t，1)
所以s=

1

2

×(

1

2

t+

t2+4

2t

)×1×2=t+

2

t

≥2

2

當且僅當t=

2

t

，即t=

2

時，取“=”且

2

∈(0，2]，t=

2

時，
s有最小值為2

2

．梯形A₁B₁C₁D₁的面積的最小值為2

2

----------（15分）

點評：本題考查兩點關于一條直線對稱的充要條件；向量運算的幾何意義；曲線在切點處的導數值為曲線的切線斜率；利用基本不等式求函數的最值．屬于一道難題．