Question

如圖直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系O-xyz．
（1）求的大小（用反三角函數表示）；
（2）設=（1，p，q），滿足⊥平面SBC，求：
①的坐標；
②OA與平面SBC的夾角β（用反三角函數表示）；
③O到平面SBC的距離．
（3）設
①的坐標為______．
②異面直線SC、OB的距離為______

Answer 1

【答案】分析：（I）根據已知中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，我們求出各頂點的坐標，進而求出向量坐標，代入向量夾角公式，即可得到結論．
（II）①由已知中得向量=（1，p，q）為平面SBC的法向量，根據法向量根平面內任一個向量均垂直，數量積均為0，構造方程組，即可求出的坐標；②A與平面SBC的夾角β與OA的方向向量與的夾角互余，求出OA的方向向量，代入即可得到結論；
（III）①根據兩向量垂直數量積為0，構造關于r，s的方程組，解方程組求出r，s，代入即可求出的坐標；②由（I）中直線SC、OB的夾角，結合四面體S-OBC的體積，根據V=•d，（其中θ為兩條異面直線夾角，d為兩條異面直線的夾角），即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）如圖所示：
C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）
∴
∴（4分）
（Ⅱ）①∴，∴
，∴（7分）
②過O作OE⊥BC于E，則BC⊥面SOE，∴SOE⊥SAB又兩面交于SE，過O作OH⊥SE于H，則OH⊥SBC，延長OA與CB交于F，則OF=2
連FH，則∠OFH為所求
，∴∴，
∴
∴
③由題設條件可得∠OBC是直角，可得出CB⊥面SOB，故CB⊥SB
又在直角三角形SOB內，可求得SB=，在梯形OABC內，可求得BC=，于是可得
又由題設條件得=
故由等體積法可得點O到面SBC的距離為=
（III）（1，-1，2）；（14分）．
點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求直線間夾角、距離，其中熟練掌握兩個向量垂直，數量積為0，及向量夾角公式是解答本題的關鍵．