Question

()若一個數列各項取倒數后按原來的順序構成等差數列，則稱這個數列為調和數列．已知數列是調和數列，對于各項都是正數的數列，滿足．

（Ⅰ）證明數列是等比數列；

（Ⅱ）把數列中所有項按如圖所示的規律排成一個三角形

數表，當時，求第行各數的和；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數列，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

（Ⅲ）見解析

解析:

（Ⅰ）證明：因為，且數列中各項都是正數，

所以 ．

設，   ①

因為數列是調和數列，故，．

所以，．   ②

由①得，代入②式得，

所以，即.

故，所以數列是等比數列．       …………………………5分

（Ⅱ）設的公比為，則，即．由于，故．

于是．

注意到第行共有個數，

所以三角形數表中第1行至第行共含有個數.

因此第行第1個數是數列中的第項.

故第行第1個數是，

所以第行各數的和為．  ………… 9分

（Ⅲ）因為，所以.

所以．

又 ，

，

所以

.

所以 ．   ………………………14分