如圖，四棱錐
中，底面是以
為中心的菱形，
底面
，
，
為
上一點，且
.
（1）求
的長；
（2）求二面角
的正弦值.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）連結
、
,因為是菱形
的中心，
,以為坐標原點，
的方向分別為
軸、
軸、
軸的正方向，建立空間直角坐標系，根據題設條件寫出
的坐標，并設出點
的坐標
，根據空間兩點間的距離公式和勾股定理列方程解出
的值得到的長；.
（2）設平面
的法向量為
，平面PMC的法向量為
，首先利用向量的數量積列方程求出向量
的坐標，再利用向量的夾角公式求出
，進而求出二面角的正弦值.
解：
（1）如圖，連結
，因為菱形，則，且
，以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系
，
因
，故
所以
由
知，
從而
，即
設
，則
因為
，
故
即
，所以
（舍去），即
.
（2）由（1）知，
,
設平面的法向量為，平面
的法向量為
由
得
故可取
由
得
故可取
從而法向量的夾角的余弦值為
故所求二面角
的正弦值為.
考點：1、空間直線與平面垂直的性質；2、空間直角坐標系；3、空間向量的數量積及其應用.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E為PC的中點．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分別為BE，AE，BC的中點
（1）求證：DE∥平面FGH；
（2）若點P在直線GF上，
=λ
，且二面角D﹣BP﹣A的大小為
，求λ的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，
，平面
平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a.
（1）求證：
平面ACFE；
（2）求二面角B—EF—D的平面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=
，連接CE并延長交AD于F.
（1）求證：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AB上的動點.
（1）求證：DA1⊥ED1；
（2）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求
的值；
（3）寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置（結論不要求證明）.
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平面
，四邊形
為矩形，
．
為
的中點，
．
；
時，求二面角
的余弦值．
的所有棱長都相等,
,四邊形
和四邊形
為矩形.
底面
;
,求二面角
的余弦值.