Question

某同學對函數f（x）=

sinx

x

進行研究后，得出以下五個結論：
①函數y=f（x）的圖象是軸對稱圖形；
②函數y=f（x）對任意定義域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；
③函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個交點，且每相鄰兩交點間距離相等；
④對于任意常數N＞0，存在常數b＞a＞N，函數y=f（x）在[a，b]上單調遞減，且|b-a|≥1；
⑤當常數k滿足k≠0時，函數y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．
其中所有正確結論的個數是（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：抓住函數f（x）的圖象與性質來求解．

解答： 解：①f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），且f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數，故①正確；
②根據正弦值在單位圓中的定義可知，|sinx|＜|x|，即在x∈（0，1]時，有|

sinx

x

|＜1，又因為|sinx|≤1，所以在x＞1時，有|

sinx

x

|＜1．又因為f（x）為偶函數，所以在其定義域內有|

sinx

x

|＜1，故②正確；
③函數f（x）的圖象與x軸的交點坐標為（kπ，0）（k≠0），∴交點（-π，0）與（π，0）的距離為2π，而其余任意兩點之間的距離為π，故③錯誤；
④令h1(x)=

1

x

，h₂（x）=sinx，兩函數在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈N)上均單調遞減，且均為正值，
∴f（x）在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈N)上單調遞減，對于任意常數N＞0，存在常數b＞a＞N，a，b∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈N)，函數f（x）在[a，b]上單調遞減，且|b-a|≥1，故④正確；
⑤f（x）的大致圖象如圖所示，
y=kx與f（x）的圖象可能有2個交點，故⑤錯誤．
故正確的為①②④，為3個，
故選：C．

點評：本題考查了函數的圖象與性質，有一定的難度，且易錯，只有冷靜分析，方可得到正解．