Question

設函數，x∈R．
（1）若ω=，求f（x）的最大值及相應的x的集合；
（2）若是f（x）的一個零點，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer 1

【答案】分析：（1）將f（x）的解析式第二項利用誘導公式化簡，把ω的值代入，并利用兩角和與差的正弦函數公式及 特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域求出f（x）的最大值，以及此時x的集合；
（2）由第一問確定的f（x）的解析式以及且x=是f（x）的一個零點，將x=代入f（x）解析式中化簡，得到f（）=0，可得出-=kπ，k為整數，整理得到ω=8k+2，由ω的范圍列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，由k為整數得到k=0，可得出ω=2，確定出函數f（x）解析式，即可求出函數的最小正周期．
解答：解：（1）f（x）=sinωx+sin（ωx-）=sinωx-cosωx，…（1分）
當ω=時，f（x）=sin-cos=sin（-），…（2分）
又-1≤sin（-）≤1，∴f（x）的最大值為，…（4分）
令-=2kπ+，k∈Z，解得：x=4kπ+，k∈Z，
則相應的x的集合為{x|x=4kπ+，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（x）=sin（-），且x=是f（x）的一個零點，
∴f（）=sin（-）=0，…（8分）
∴-=kπ，k∈Z，整理得：ω=8k+2，
又0＜ω＜10，∴0＜8k+2＜10，
解得：-＜k＜1，
又k∈Z，∴k=0，ω=2，…（10分）
∴f（x）=sin（2x-），
則f（x）的最小正周期為π．…（12分）
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，正弦函數的圖象與性質，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．