Question

已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2，3，3，7，a，b，12，14，18，20，且總體的中位數(shù)為10.5（將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)）．
（1）求該總體的平均數(shù)；
（2）求a的值，使該總體的方差最小．

Answer 1

分析：（1）由中位數(shù)和平均數(shù)的定義可解決
（2）由a、b的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題，即可求解

解答：解：（1）由題意得

a+b

2

=10.5，即a+b=21．-----------------------（2分）
于是2+3+3+7+a+b+12+14+18+20=100，----------------------（4分）
所以2，3，3，7，a，b，12，14，18，20的平均數(shù)為

100

10

=10．----------------------（6分）
（2）設(shè)2，3，3，7，a，b，12，14，18，20的方差為s²，則
s²=

1

10

[(2-10)2+(3-10)2+…+(a-10)2+(b-10)2+…+(20-10)2]
=

1

10

[355+(a-10)2+(b-10)2]=

1

10

[355+(a-10)2+(11-a)2]
=

1

5

(a2-21a+288)．----------------------（11分）
故當(dāng)a=

21

2

=10.5時(shí)，總體的方差s²取得最小值．---------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中數(shù)、方差，其次要掌握平均數(shù)、中數(shù)、方差的計(jì)算公式，還考查二次函數(shù)求最值問題