Question

（2013•虹口區二模）定義域為D的函數f（x），如果對于區間I內（I⊆D）的任意兩個數x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，則稱此函數在區間I上是“凸函數”．
（1）判斷函數f（x）=-x²在R上是否是“凸函數”，并證明你的結論；
（2）如果函數f(x)=x2+

a

x

在區間[1，2]上是“凸函數”，求實數a的取值范圍；
（3）對于區間[c，d]上的“凸函數”f（x），在[c，d]上的任取x₁，x₂，x₃，…，x2n，證明：f(

x1+x2+…+x2n

2n

)≥

1

2n

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]．

Answer 1

分析：（1）直接利用函數是“凸函數”的定義，通過放縮法證明即可；
（2）直接利用函數f(x)=x2+

a

x

在區間[1，2]上是“凸函數”，列出關系式，利用基本不等式求實數a的取值范圍；
（3）對于區間[c，d]上的“凸函數”f（x），在[c，d]上的任取x₁，x₂，x₃，…，x2n，利用數學歸納法的證明步驟直接證明：f(

x1+x2+…+x2n

2n

)≥

1

2n

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]．

解答：（18分）解：（1）設x₁，x₂是任意兩個實數，則有f(

x1+x2

2

)=-(

x1+x2

2

)2=

1

4

(-

x

2 1

-2x1x2-

x

2 2

)≥

1

2

(-

x

2 1

-

x

2 2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]．
∴函數f（x）=-x²在R是“凸函數”．…（4分）
（2）若對于

1，2

上的任意兩個數x₁，x₂，均有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，
即(

x1+x2

2

)2+

a

x1+x2 2

≥

1

2

[(

x

2 1

+

a

x1

)+(

x

2 2

+

a

x2

)]，
整理得(x1-x2)2a≤-

1

2

(x1-x2)2x1x2(x1+x2)…（7分）
若x₁=x₂，a可以取任意值．
若x₁≠x₂，得a≤-

1

2

x1x2(x1+x2)，
∵-8＜-

1

2

x1x2(x1+x2)＜-1，
∴a≤-8．
綜上所述得a≤-8．…（10分）
（3）當k=1時由已知得f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立．
假設當k=m（m∈N^*）時，不等式成立即f(

x1+x2+…+x2k

2m+1

)≥

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]成立．
那么，由c≤

x1+x2+…+x2m

2m

≤d，c≤

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

≤d
得f(

x1+x2+…+x2m+1

2m+1

)=f{

1

2

[

x1+x2+…+x2m

2m

+

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

]}≥

1

2

[f(

x1+x2+…+x2m

2m

)+f(

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

)]≥

1

2

{

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]+

1

2m

[f(x2m+1)+f(x2m+2)+…+f(x2m+1)]}
=

1

2m+1

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m+1)]．
即k=m+1時，不等式也成立．根據數學歸納法原理不等式得證．…（18分）

點評：本題考查數學歸納法以及放縮法證明問題的步驟，新定義的應用，考查分析問題與解決問題的能力．