Question

(文科)(本題滿分14分)設函數f(x)=·，其中=(m,cos2x)，=(1+sin2x,1)，x∈R，且函數y=f(x)的圖象經過點(,2).

    (Ⅰ)求實數m的值；

    (Ⅱ)求函數f(x)的最小值及此時x值的集合

(理科)(本題滿分14分)已知函數f(x)=e^x-kx，x∈R

    (Ⅰ)若k=e，試確定函數f(x)的單調區間

    (Ⅱ)若k>0，且對于任意x∈R，f(|x|)>0恒成立，試確定實數k的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

(文科)解：(Ⅰ)f(x)=a·b=m(1+sin2x)+cos2x.

由已知得f()=m(1+sin)+cos=2，解得m=1.……6分

    (Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+sin(2x+).

        所以當sin(2x+)=-1時，f(x)的最小值為1-. ……………11分

        由sin(2x+)=-1，得x值的集合為{x|x=k，k∈Z}.……14分

(理科)解：(Ⅰ)由k=e得f(x)=e^x-ex，所以f(x)=e^x-e.

由f(x)>0得x>1，

                  故f(x)的單調遞增區間是(1,+∞)；……………………4分

由f(x)<0得x<1，

故f(x)的單調遞減區間是(-∞,1). ……………………6分

    (Ⅱ)由f(|-x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函數. 于是f(|x|)>0對任意x∈R成立等價于f(x)>0對任意x≥0成立. 由f(x)=e^x-k=0得x=lnk.

①當k∈(0,1時，f(x)=e^x-k>1-k≥0(x>0). 此時f(x)在[0,+∞上單調遞增. 故f(x)≥f(0)=1>0，符合題意.所以0<k≤1. …………10分②當k∈(1,+∞)時，lnk>0. 當x變化時f(x)，f(x)的變化情況如下：

x	(0,lnk)	lnk	(lnk,+∞)
f(x)	－[來源:]	0	＋
f(x)	單調遞減	極小值	單調遞增

由此可得，在[0,+∞上，f(x)≥f(lnk)=k-klnk.

依題意，k-klnk>0. 又k>1，所以1<k<e.

綜合①②實數k的取值范圍為(0,e). …………………………14分

 

【解析】略