Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，直線被橢圓截得的線段長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的右頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于兩點（點不同于橢圓的右頂點），證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由橢圓的對稱性知兩點關于原點對稱，不妨設在第一象限，由弦長可得，代入，再結合可解得；

（2）只要設出直線方程：，把代入橢圓方程可解得M點坐標，同理可解得N點坐標，由兩點求出直線MN的方程（注意分類討論MN與垂直和不垂直兩種情形），通過直線方程可觀察出直線所過定點．

詳解：（1）根據題意，設直線與題意交于兩點.不妨設點在第一象限，又長為，

∴，∴，可得，

又，

∴，故題意的標準方程為，

（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設，

由得，∴，

同理可得

當時，，所以直線的方程為

整理得，所以直線

當時，直線的方程為，直線也過點

所以直線過定點.