Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點．
（1）求證：EF⊥平面PAD；
（2）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小；
（3）若M為線段AB上靠近A的一個動點，問當AM長度等于多少時，直線MF與平面EFG所成角的正弦值等于？

Answer 1

【答案】分析：方法一（1）由面面垂直來證線面垂直，本題中先證明AB⊥平面PAD，再由EF∥AB得出EF⊥平面PAD；
（2）建立空間坐標系，分別求出兩平面的法向量用相關公式求出兩個平面的夾角的余弦值，再求出角的大小；
（3）設AM=x，給出相應的坐標，求出向量MF的坐標，利用線面角的相關公式求出線面角；
方法二  在（1）的證明中用了向量，其它基本與方法一同；
方法三  完全用幾何法解決問題（1）中用的是線面平行的判定定理；
（2）根據幾何性質作出二面角的平面角，再證明，求之；
（3）作出線面角，根據正弦值等于建立關于參數的方程，求出參數值．
解答：解：
方法1：（1）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，（2分）
∵E、F為PA、PB的中點，
∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（4分）
（2）解：過P作AD的垂線，垂足為O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD．
連OG，以OG，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標系，（6分）
∵PA=PD=AD=4，
∴，
得，，
故，
設平面EFG的一個法向量為n=（x，y，z）
則
（7分）
平面ABCD的一個法向量為，n₁=（0，0，1）
平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是：，
銳二面角的大小是60°（8分）
（3）設AM=x，M（x，-2，0），則，
設MF與平面EFG所成角為θ，
則，x=1或x=3，
∵M靠近A，∴x=1（10分）
∴當AM=1時，MF與平面EFG所成角正弦值等于．（12分）

方法2：（1）證明：過P作PO⊥AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，
則PO⊥平面ABCD，連OG，以OG，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標系，
（2分）
∵PA=PD=AD=4，∴，
得，，
故，
∵，
∴EF⊥平面PAD；（4分）
（2）解：，
設平面EFG的一個法向量為n=（x，y，z），
則
（7分）
平面ABCD的一個法向量為n₁=（0，0，1），以下同方法1

方法3：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，（2分）
∵E、F為PA、PB的中點，
∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（4分）
（2）解：∵EF∥HG，AB∥HG，∴HG是所二面角的棱，（6分）
∵HG∥EF，∴HG⊥平面PAD，∴DH⊥HG，EH⊥HG，
∴∠EHA是銳二面角的平面角，等于60°；（8分）
（3）解：過M作MK⊥平面EFG于K，連接KF，
則∠KFM即為MF與平面EFG所成角，（10分）
因為AB∥EF，故AB∥平面EFG，故AB的點M到平面EFG的距離等于A到平面EFG的距離，
∵HG⊥平面PAD，∴平面EFGH⊥平面PBD于EH，
∴A到平面EFG的距離即三角形EHA的高，等于，即MK=，
∴，，在直角梯形EFMA中，AE=EF=2，
∴AM=1或AM=3∵M靠近A，∴AM=1（11分）
∴當AM=1時，MF與平面EFG所成角正弦值等于．（12分）
點評：立體幾何中點線面的關系問題的解決中常用的方法有三，一是用立體幾何的方法，二是用空間向量法，三是立體幾何與向量二者結合的方法．