Question

（2012•即墨市模擬）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2a，AB=a，PA⊥平米ABCD，F是線段BC的中點．H為PD中點．
（1）證明：FH∥面PAB；
（2）證明：PF⊥FD；
（3）若PB與平米ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明FH∥面PAB，利用線面平行的判定，證明線線平行即可；
（2）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質定理得到PF⊥FD；
（3）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解△MNF可得答案．

解答：（1）證明：取PA的中點G，連接GB，GH，則
∵底面ABCD是矩形，H為PD中點
∴GH∥BF，GH=BF
∴四邊形BFHG是平行四邊形
∴FH∥BG
∵FH?面PAB，BG?面PAB
∴FH∥面PAB；
（2）證明：連接AF，則AF=

2

a，DF=

2

a
∵AD=2a，∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF
∵PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
∵PF?平面PAF，∴DF⊥PF
（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=a
取AD的中點M，則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，
在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴MN：PA=MD：PD，
∵PA=a，MD=a，PD=

5

a，且∠FMN=90°
∴MN=

5

5

a，FN=

30

5

a，
∴cos∠MNF=MN：FN=

6

6

點評：本題考查線面平行，考查線線垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面平行的判定，利用線面垂直的性質證明線線垂直，屬于中檔題．