Question

【題目】已知橢圓離心率為，以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓O與直線：相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設不過原點O的直線與該橢圓交于P、Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，求△OPQ面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(0，1).

【解析】

（1）根據直線與圓相切的條件和橢圓的離心率可求得a，b，可得出橢圓的標準方程；

（2）設出直線的方程y＝kx＋m(m≠0)，將直線的方程與橢圓的方程聯立得出交點P，Q的坐標間的關系，再由直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，得出0<m2<2且m2≠1，表示出△OPQ的面積可求得△OPQ面積的取值范圍.

（1）由直線：與圓相切得：，由得，

又，，，

所以橢圓C的方程為；

(2）由題意可知，直線的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

則Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.

故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.

因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，所以·＝＝k2，

即＋m2＝0，又m≠0，所以k2＝，即k＝±.

由Δ>0，及直線OP，OQ的斜率存在，得0<m2<2且m2≠1.

S△OPQ＝|x1－x2||m|＝，

所以S△OPQ的取值范圍為(0，1).