Question

選做題：不等式選講．
已知a，b，c是不全相等的正數，求證：

a+b 2 - ab

a+b+c 3 - 3 abc

≤

3

2

，并指出等號成立的條件．

Answer 1

分析：由

a+b+c

3

＞

3	abc

，故不等式等價于 c+2

ab

≥3

3	abc

，利用平均值不等式可證得此不等式成立．

解答：證明：∵a，b，c是不全相等的正數，∴

a+b+c

3

＞

3	abc

，（2分）
故不等式等價于 2(

a+b

2

-

ab

)≤3(

a+b+c

3

-

3	abc

)，即c+2

ab

≥3

3	abc

．（5分）
∵a，b，c＞0，∴c+2

ab

=c+

ab

+

ab

≥3

3	c• ab • ab

=3

3	abc

，不等式得證（8分）
取號等條件是c=

ab

，即c²=ab且a、b、c互不相等的正數 （10分）

點評：本題考查平均值不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件．