Question

（2011•渭南三模）選做題（請考生在以下三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A、（不等式選講）若關于x的方程x²+4x+|a-1|=0有實根，則實數a的取值范圍為

[-3，5]

B、（幾何證明選講）如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過C作AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點E，AE平分∠CAB，且AE=2，則AC=

2

3

 
C、（坐標系與參數方程）已知直線

x=1-2t y= 3 +t.

（t為參數）與圓ρ=4cos(θ-

π

3

)相交于A、B兩點，則|AB|=

4

．

Answer 1

分析：（A）根據關于x的方程x²+4x+|a-1|=0有實根，可得△≥0，解不等式即可求得結果；
（B）根據AD為⊙O的切線，得出∠BAE=∠C，又AE平分∠CAB，得出∠BAC=2∠BAE，從而有∠BAE=∠C=30°最后利用特殊的直角三角形即可求出AC的長；
（C）把曲線C的極坐標方程化為普通方程，可知曲線是圓，根據點到直線的距離公式和圓被直線所截得的弦長公式進行計算．

解答：解：A：∵關于x的方程x²+4x+|a-1|=0有實根，
∴△=16-4（|a-1|）≥0，
即-3≤a≤5，
故答案為：[-3，5]．
B：∵AD為⊙O的切線，∴∠BAE=∠C，
∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE，
又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°．
則有BE=1，AB=

3

，BC=3，
∴AC=2

3

．
故答案為：2

3

．
C：l的直角坐標方程為 x+2y-1-2

3

=0，
 ρ=4cos(θ-

π

3

)的直角坐標方程為 (x-1)2+(y-

3

)2=4，
所以圓心 (1，

3

)到直線l的距離d=

|1+2 3 -1-2 3|

1+4

=0，
說明直線經過圓心，
∴|AB|=4．
故答案為：4．

點評：本題考查直線的參數方程、圓的極坐標方程、與圓有關的比例線段、絕對值不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，此題應用弦切角、解直角三角形的知識，為基礎題型．