Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）= 有4個不相等的實根，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣ ，1）
B.（ ，1）
C.（ ，1）
D.（﹣1， ）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設x＜0，則﹣x＞0，

∵當x≥0時，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，

∵f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，

則f（x）= ，即 ，

由f（x）= 得，f2（x）=x+a，

畫出函數y=x+a與y=f2（x）的圖象，如圖所示：

由圖知，當直線y=x+a過點A時有三個交點，

且A（1，1），此時a=1，

當直線y=x+a相切與點P時有三個交點，

由圖知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，

則y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x= ，則y= ，

此時切點P（ ， ），代入y=x+a得a= ，

∵方程f（x）= 有4個不相等的實根，

∴函數y=x+a與y=f2（x）的圖象有四個不同的交點，

由圖可得，實數a的取值范圍是（ ，1），

故選B．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．