Question

設m，n（m≠n）是函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（1）若m=-1，n=2，求函數f（x）解析式；
（2）若|m|+|n|=2

2

，求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），知f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）依題意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，由此能求出f（x）．
（2）先對函數進行求導，根據函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點為m，n（m≠n），可以得到△＞0且由韋達定理可得m+n，mn，把等式轉化為關于m+n，mn的關系式，求出a、b的關系，把a看成未知數x，求三次函數的最值，利用導數求極值，是b²最大值，開方可求b的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依題意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，
∴

3a-2b-a2=0 12a+4b-a2=0

(a＞0)．
解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（2）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依題意，m，n是方程f'（x）=0的兩個根，
且|m|+|n|=2

2

，
∴（m+n）²-2mn+2|mn|=8．
∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a）
∵b²≥0，
∴0＜a≤6，
設p（a）=3a²（6-a），
則p′（a）=-9a²+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，
由p'（a）＜0得a＞4．
即：函數p（a）在區間（0，4]上是增函數，
在區間[4，6]上是減函數，
∴當a=4時，p（a）有極大值為96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值為4

6

．

點評：本題考查函數解析式的求法和實數b的最大值的求法．由原函數極值點的個數判斷出導函數解的個數，利用判別式得參數的關系，用韋達定理把參數和解聯系起來，韋達定理是個很好的“橋梁”，求最大值要先求極大值，三次函數一般用導數來求．