Question

【題目】如圖1，在長方形中，為的中點，為線段上一動點．現將沿折起，形成四棱錐.

（1）若與重合，且(如圖2).證明：平面；

（2）若不與重合，且平面平面 (如圖3)，設，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）.

【解析】

（1）由AD⊥BD，AD⊥DE，BD∩DE＝D，可得AD⊥平面BDE，可得AD⊥BE．由E與O重合，可得△ADE與△BCE都為等腰直角三角形，可得BE⊥AE．即可證明結論．

（2）過E點作EH⊥AB，垂足為H，并連接DH，證明EH⊥DH，設CE＝x，則DE＝4﹣x，在Rt△DHB中列出t關于x的函數關系式，利用二次函數求最值即可

（1）由與重合，則有, 因為AD⊥BD，,所以平面，,

,所以平面.

（2）如圖過E點作EH⊥AB，垂足為H，并連接DH，

又∵平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，EH平面ABC，

∴EH⊥平面ABD，∵DH平面ABD，∴EH⊥DH，

設CE＝x，則DE＝4﹣x，

∵BC⊥AB，∴BC∥EH，又CE∥AB，∴BH＝x，EH＝2，

∴在Rt△DHE中，DH，

∴在Rt△DHB中，t，

∵x∈[0，2），∴t∈．