Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=A（x₀，y₀）AB=2，點E、M分別為A₁B、C₁C的中點．
（Ⅰ）求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求幾何體B-CME的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取C₁D₁的中點N，連MN，證明EM∥A₁N，而EM?平面A₁B₁C₁D₁，A₁N?平面A₁B₁C₁D₁．即可證明EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求出E到平面DCM的距離d，利用 V_B-CME=V_E-BCM，即可求幾何體B-CME的體積．

解答：解：（Ⅰ）證明：取C₁D₁的中點N，連MN，D₁C∵E為A₁B中點
又∵M為CC₁中點∴MN∥

1

2

D₁C，又D₁C∥A₁B
∴MN∥A₁E   故四邊形A₁EMN為平行四邊形∴EM∥A₁N
而EM?平面A₁B₁C₁D₁，A₁N?平面A₁B₁C₁D₁．
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁…（6分）
（Ⅱ）∵E為A₁B之中點，E到平面DCM的距離d=

1

2

AB=2
由 V_B-CME=V_E-BCM=

1

3

dS_?BCM=

1

3

•2•

1

2

•4•1=

4

3

…（12分）

點評：本題是中檔題，考查直線與平面平行的證明方法，幾何體的體積的求法，考查計算能力，空間想象能力．