Question

函數f（x）對任意的實數x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0，f（x）＜0．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）證明：函數f（x）在R上是減函數；
（3）若y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零點，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）令y=x=0，可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=0，進而根據奇偶性定義可得答案；
（2）任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，設x₂=x₁+t，t＞0，結合f（x+y）=f（x）+f（y），及x＞0，f（x）＜0可判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據單調性的定義得到結論
（3）當y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零點，則方程f（ax²-a²x）=f[（a+1）（x-1）]有根，根據（2）的結論可得ax²-a²x=（a+1）（x-1）有根．分類討論后可得答案．

解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=x=0
則f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
則f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）為奇函數…（3分）
證明：（2）任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，設x₂=x₁+t，t＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+t）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是減函數…（2分）
解：（3）∵y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]=0
∴f（ax²-a²x）=f[（a+1）（x-1）]
即ax²-a²x=（a+1）（x-1）
∴ax²-（a²+a+1）x+a+1=（ax-1）[x-（a+1）]=0…（1分）
①a=0時，x=1∈（0，2）符合…（1分）
②a≠0時，則

1

a

∈（0，2）或a+1∈（0，2）
∴a≥

1

2

或-1＜a＜1且a≠0…（2分）
綜上a∈（-1，+∞）…（1分）

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數的零點，其中“湊”的思想是解決抽象函數的關鍵，而（3）的關鍵是借助（2）的結論，脫卻函數符號，構造方程ax²-a²x=（a+1）（x-1）有根．