Question

如圖，AB是圓柱體OO′的一條母線，BC過底面圓的圓心O，D是圓O上不與點B、C重合的任意一點，已知棱AB=5，BC=5，CD=3．
（1）將四面體ABCD繞母線AB轉動一周，求△ACD的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積；
（2）二面角A-DC-B
（3）求AD與平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，所求體積是兩個圓錐體的體積之差，只須分別求出這兩個錐體的體積后求它們的差即得
（2）因為點D在以BC為直徑的圓上，所以BD⊥DC，又可知CD⊥AD，所以∠ADB為二面角A-DC-B的平面角，在RT△ADB中，可求二面角A-DC-B的大小；
（3）過E作DE⊥BC，連接AE，因為AB⊥平面BDC，所以AB⊥DE．所以DE⊥平面ABC，所以∠DAE就是直線AD與平面ABC所成的角，故可求直線AD與平面ABC所成的角．

解答：解：（1）由題意可知，所求體積是兩個圓錐體的體積之差，
V=V圓錐ABC-V圓錐ABD=

1

3

π?52?5-

1

3

π?42?5=

125π

3

-

80π

3

=15π
故所求體積為15π
（2）因為點D在以BC為直徑的圓上，所以BD⊥DC
因為AB⊥平面BDC，DC?平面BDC，所以AB⊥DC，
從而有CD⊥平面ABD，AD?平面ABD，所以CD⊥AD
所以∠ADB為二面角A-DC-B的平面角，在RT△ADB中，BD=4，
tan∠ADB=

AB

BD

=

5

4

，所以∠ADB=arctan

5

4

，
即二面角A-DC-B的大小為arctan

5

4

（3）過E作DE⊥BC，連接AE，因為AB⊥平面BDC，所以AB⊥DE．
所以DE⊥平面ABC
所以∠DAE就是直線AD與平面ABC所成的角；
在RT△DBC中，DE=

12

5

在RT△DBA中，AD=

41

在RT△ADE中，sin∠DAE=

12 41

205

所以，∠DAE=arcsin

12 41

205

所以直線AD與平面ABC所成的角為arcsin

12 41

205

點評：本題以旋轉體為載體，考查幾何體的條件，考查面面角，考查線面角，關鍵是角的尋找．