Question

如圖，AB是圓柱體OO′的一條母線，BC過底面圓的圓心O，D是圓O上不與點(diǎn)B，C重合的任意一點(diǎn)，已知棱AB=5，BC=5，CD=3．
（1）求直線AC與平面ABD所成的角的大小；
（2）將四面體ABCD繞母線AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周，求△ACD的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求直線AC與平面ABD所成的角，先證出CD⊥平面ABD，從而得出∠CAD為直線AC與平面ABD所成的角，最后在Rt△ADC中，求解即可；
（2）由題意可知，所求體積是兩個(gè)圓錐體的體積之差，只須分別求出這兩個(gè)錐體的體積后求它們的差即得．
解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)D以BC徑的圓上，所以BD⊥DC（2分）
因?yàn)锳B⊥平面BDC，DC?平面BDC，所以AB⊥DC，
從而有CD⊥平面ABD（4分）
所以∠CAD為直線AC與平面ABD所成的角，在Rt△ADC中，=
，所以，
即直線AC與平面ABD所成的角為．（6分）
（2）由題意可知，所求體積是兩個(gè)圓錐體的體積之差，

故所求體積為15π（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面之間所成角、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．